Breve historia de los sistemas de afinación

Los sistemas de afinación son maneras de dividir la octava que caracterizan a cada tradición. Nos proporcionan el elenco completo de alturas que se consideran normativas en cada cultura. En el caso de la tradición occidental, el modo en que afinamos los instrumentos ha sufrido una serie de variaciones importantes debido, fundamentalmente, a que la búsqueda de un sistema que eliminara por completo las disonancias ha sido más complicado de lo que sospechamos.

Lo que sigue es una breve introducción a los sistemas que han sido mayormente utilizados en la música de occidente. Aquí se pretende tan sólo ofrecer una visión global, pero también he querido entrar a explicar con un mínimo de detalle la parte matemática. En cualquier caso, creo que he logrado mantener el texto accesible a los lectores que no tengan conocimientos en la materia. Para quienes deseen un grado mayor de profundidad, recomiendo la lectura de los textos siguientes: Peralta (2003)1 y Peralta (2011).2

La afinación pitagórica

Los primeros estudios sobre afinación de los que tenemos noticia fueron los realizados por Pitágoras y sus seguidores, en el siglo V a.C. El método que utilizaron los pitagóricos consistió en analizar el modo en que la altura de tono producida al pulsar una cuerda varía en función de su longitud, su grosor o la tensión a la que se la somete (las cuerdas con mayor grosor producen sonidos más graves, las más tensas producen sonidos más agudos, y a mayor longitud, menor altura de tono).

La longitud de la cuerda, sin embargo, resulta un parámetro mucho más sencillo de manipular que su grosor o tensión, y probablemente por esa razón Pitágoras y sus seguidores centraron sus experimentos en variar longitudes y observar cómo eran los sonidos resultantes.

pitagoras.png

Pitágoras

De este modo, los pitagóricos observaron que, en la construcción de intervalos, los resultados más agradables al oído se producían cuando dividían la longitud de las cuerdas utilizando relaciones sencillas. Al dividir una cuerda por la mitad, el sonido obtenido era del todo consonante con el de la cuerda entera. Al dividirla nuevamente por la mitad, el resultado tambien lo era. La regla general que obtuvieron fue que los sonidos más consonantes se obtenían al combinar dos cuerdas con una relación entre sus longitudes que, expresada como una fracción, ofrecía un numerador y un denominador con números enteros y pequeños (1/2, 2/3 y 3/4 fueron las fracciones que mejores resultados dieron).

Las divisiones que mejores resultados proporcionaban siguiendo esta lógica fueron:

  • La mitad de la cuerda, una proporción que nos da el intervalo de octava (a esta proporción los pitagóricos la denominaron diapasón).
  • Dos tercios de la cuerda, una proporción que nos da el intervalo de quinta justa, (denominada diapente).
  • Tres cuartos de la cuerda, una proporción que nos da el intervalo de cuarta justa (denominada diatesaron).

El paso siguiente fue encontrar un método para construir la escala completa. Para ello, utilizaron como referencia el intervalo de 5ª justa (la relación de ese intervalo es de 3:2). El encadenamiento de quintas (Do, Sol, Re, La, Mi, etc.) genera un ciclo que abarca los doce tonos de la escala cromática. Esto puede observarse en la siguiente figura:

circulo-quintas

Fig. 1. El círculo de quintas

Por medio de quintas justas se logra cubrir la totalidad de la escala cromática. Un instrumento construido con el método pitagorico sería capaz por tanto de emitir todos los sonidos usados para hacer música en cualquier tonalidad.

El método, sin embargo, no es del todo satisfactorio (no lo es, al menos, para la música polifónica). Existe un problema en el fundamento matemático de la escala cromática así formada. El encadenamiento sucesivo quintas, con una relación 3:2, nunca da una frecuencia que se corresponda a la octava, de relación 2:1 (ningún número es al mismo tiempo potencia de 3 y de 2, salvo la unidad, que representa el unísono). Por esa razón, cuando alcanzamos la octava siguiendo esta estrategia, la altura no se corresponde con el doble de la frecuencia, siendo un poco mayor.

La manera que utilizaron los pitagóricos para corregir la diferencia con la octava fue completar el ciclo utilizando una quinta ligeramente menor que el resto. La última quinta del ciclo se desafinaba para que éste pudiera cerrar en la octava.

La afinación pitagórica se deriva, por lo tanto, de la superposición de 11 quintas naturales (generalmente, se hacía desde Mib hasta Sol#), más una 12ª quinta que recibe toda la coma pitagórica, siendo por ello 24 cents más baja. En este sistema, los intervalos de quinta son perfectamente consonantes, salvo en el caso de la que recibe la coma pitagórica (la 12ª, también conocida como «quinta del lobo»). En cuanto a la tercera mayor, ésta es más amplia (en 22 cents) que la tercera natural derivada de la serie de armónicos (4:5), siendo considerada disonante. (Es un sistema que prioriza las quintas, cuartas y octavas.)

La escala, en consecuencia, sonaba bien en el contexto de la música monódica, o para la superposición de quintas y cuartas justas (siempre que se evitara la denominada quinta del lobo), y por eso fue utilizada hasta la Edad Media (por ejemplo, en el canto gregoriano), pero con el progresivo avance de la polifonía se buscaron sistemas diferentes que permitieran el uso del resto de intervalos.

El temperamento justo

A partir del siglo XVI, el sistema de afinación más utilizado fue el temperamento justo, que se caracteriza por seguir en lo posible los intervalos de la serie armónica. En este sistema se prioriza la tercera mayor, a expensas del resto de intervalos. El mayor problema en este caso se encuentra en las quintas. El procedimiento por el que se construye la escala no logra eliminar la quinta del lobo. Al contrario, mientras en el sistema pitagórico se encuentra 24 cents por debajo de la quinta perfecta, en este caso se encuentra 41 cents por encima de ella (casi medio semitono por encima).

Zarlino es considerado uno de los precursores de la justa entonación. Propuso una base matemática alternativa para la escala diatónica, basándose en un sistema que propuso originariamente Aristógenes (350 a.C). Este sistema tomaba como punto de partida los armónicos cuarto, quinto y sexto de la serie armónica, que forman un acorde mayor entre sí. Partiendo de los intervalos que forman esos armónicos, el nuevo sistema debería solucionar los problemas de la afinación pitagórica, logrando acordes mayores consonantes, pero en su desarrollo aparecían otros problemas. Una vez afinado un instrumento por medio del sistema de Aristógenes/Zarlino, éste servía para obras compuestas en la tonalidad utilizada en su afinación, pero no era posible moverse de esa tonalidad. Hacerlo trastocaba toda la afinación, y lo que eran acordes perfectos en la tonalidad original se convertirían en la nueva en acordes desafinados. Afinado desde Do, este sistema producía un acorde de Do mayor (Do-Mi-Sol) que sonaría consonante, pero el acorde Re mayor (Re-Fa#-La), que no pertenece a la tonalidad de Do mayor, sonaría desafinado.

Esto se debe a que el sistema de Zarlino era un «temperamento mesotónico», esto es, contenía dobles notas (las dobles notas son necesarias aquí para la coexistencia de terceras y quintas justas).

Para construir la escala, los temperamentos mesotónicos utilizan dos distancias de tono que coexisten, un tono grande y un tono pequeño. En una tercera mayor, por ejemplo, tendriamos dos tonos de igual tamaño siempre que estuvieran en la tonalidad adecuada. La distancia entre Do y Re sería la misma que entre Re y Mi, pero la distancia entre Mi y Fa# sería distinta, a pesar de ser en todos los casos la distancia de un tono. Por esa razón, algunos acordes mayores sonaban consonantes mientras otros provocaban disonancias. (A la diferencia entre el tono grande y el tono pequeño en los temperamentos mesotónicos se la denomina «coma sintónica». Se conoce desde el siglo I a.C.,  y la relación es de 81/80. Su amplitud comparativa es de 21,5 cents.)

Relación con la serie armónica

Como hemos dicho al hablar de la afinación pitagórica, los resultados más consonantes aparecen tras dividir la longitud de una cuerda en partes iguales. Otra forma de lograr esa consonancia es por medio de lo que hoy denominamos armónicos artíficiales. En cualquier cuerda tensada, rozándola justo en la mitad de su longitud mientras se pulsa, se escucha la octava. Esto ocurre porque, al poner un dedo en esa posición se crea un punto nodal donde la cuerda no vibra, alterándose el patron de vibración de la cuerda. Dependiendo del lugar donde se roze, pueden extraerse diferentes armónicos, que son frecuencias que acompañan a la fundamental (la frecuencia más audible, que coincide con la altura del tono percibido), complementándola.

De analizar el modo en que vibra una cuerda tensada se extrae lo que denominamos la «serie armónica». La serie armónica es una sucesión de sonidos cuyas frecuencias son múltiplos de la fundamental, y se combinan con ella sin alterar la sensación de altura.

Estos armónicos son de enorme importancia porque, en su mayoría, forman (respecto de la fundamental) lo que consideramos intervalos consonantes, pudiéndose relacionar con la escala diatónica.

serie-armonica

Tabla 1. Serie armónica en una cuerda afinada en Do.

En una guitarra, la octava se extrae rozando la cuerda a la altura del traste 12 (a la mitad de la longitud de la cuerda), la quinta aparece rozándola a la altura del traste 7, la tercera mayor aparece a la altura del traste 4, y la tercera menor a la del traste 9.

Siendo intervalos que aparecen en la forma natural de vibrar las cuerdas, tiene sentido que los teóricos vieran de inmediato en la serie armónica una herramienta perfecta para la construcción ideal de escalas, que superara los problemas de la afinación pitagórica. El primer armónico daba la fundamental, el noveno daba el intervalo de segunda, el décimo, el intervalo de tercera, y así sucesivamente. Sólo había que realizar los cálculos matemáticos necesarios para encontrar las frecuencias que correspondían a cada grado para ordenar los tonos de menor a mayor.

El procedimiento parece garantizarnos una escala con la máxima consonancia, nacida del análisis de lo que ocurre en la vibración natural de las cuerdas. Sin embargo, a la hora de construir la escala, si la fundamentamos en la serie armónica, pronto nos encontramos con nuevos problemas. Cuando utilizamos la serie armónica como patrón, observamos que los intervalos que aparecen en ella no nos permiten una subdivisión igual de la octava. Tres terceras mayores no llegan a cubrir la octava (es decir, si formamos una escala con las notas Do, Mi, Sol# y Do utilizando la distancia de una tercera mayor de la serie armónica, al llegar a la octava, ésta se queda por debajo de la frecuencia que debería), y cuatro terceras menores dan un intervalo que la supera (es decir, tras formar una escala Do, Mib, Solb, La y Do, al llegar al Do, la frecuencia de esa altura es demasiado alta).

Por tanto, si buscamos que todas las terceras sean consonantes, la octava que obtenemos se encuentra desafinada. Un problema similar al que tenía la escala pitagórica, pero utilizando terceras en lugar de quintas. Además, este sistema no solucionaba el problema de la quinta del lobo, en realidad lo empeoraba (era más disonante aún que la del sistema pitagórico).

Temperamentos irregulares

Ninguno de los dos sistemas anteriores ofrece una buena solución. O se priorizan las quintas o se favorecen las terceras, y en ambos casos el resultado produce disonancias importantes.

Casi al mismo tiempo que se imponían los temperamentos mesotónicos, aparecieron otras propuestas que intentaban evitar la quinta del lobo, para posibilitar la ejecución en cualquier tonalidad. Las soluciones alternativas que se investigaron por medio de temperamentos irregulares se basaron en repartir la coma pitagórica o la coma sintónica entre varias quintas. Esa repartición no se realizó de forma regular, de manera que las diferentes quintas tenían tamaños diferentes.

Ejemplos de este tipo de temperamento son los propuestos por Andreas Werckmeister, en 1691,3 Lambert Chaumont, en 1695,4 Jean-Philippe Rameau, en 1726,5 o Johann Philipp Kirnberger, en 1771.6

El temperamento igual

Un sistema que obliga a considerar los tonos enarmónicos como sonidos diferentes complica enormemente la construcción de instrumentos musicales, además de suponer una importante dificultad para los instrumentistas.

mesoenne

Fig. 2. El temperamento mesotónico

A finales del siglo XVII, el desarrollo de la polifonía y el mayor uso de los instrumentos de teclado hacía necesario el desarrollo de un sistema que solucionara los problemas anteriores. Un sistema que permitiera tocar en cualquier tonalidad y la modulación.

La solución sólo podía lograrse partiendo de una fórmula de compromiso, que lograra esos objetivos a costa de la perfecta consonancia de quintas, cuartas o terceras. El denominado «temperamento igual» comenzó a ser propuesto en aquel momento, si bien no empezó a utilizarse realmente hasta el comienzo del siglo XIX (el denominado “siglo del piano“). Es más, en 1863, Alexander John Ellis afirmaba que el temperamento matemáticamente igual todavía no era practicado, porque no existía aún una tradición con suficientes afinadores que tuvieran el oído bien entrenado (Ellis, A. J., 1864).7

Por otra parte, la “solución” alcanzada por medio de este temperamento no era considerada una verdadera solución por muchos músicos y teóricos de la época, que se rebelaron contra esta tendencia, considerando que lo que se perdía con ella era más de lo que se ganaba. No querían perder el “color” de las diferentes tonalidades (y consideraban las terceras duras).

El semitono en el temperamento igual

Para calcular el tamaño de un semitono, se debe dividir la octava en doce partes iguales. El único factor que al multiplicarse por sí mismo doce veces da una duplicación exacta de la frecuencia es la raíz duodécima de 2. Ese factor lo podemos encontrar también expresado como 21/12, o como 1.0594630943593.

Por tanto, partiendo de la frecuencia de un tono cualquiera, multiplicar esa frecuencia por 1.0594630943593 nos proporciona la del siguiente semitono en el sistema de temperamento igual. Así, tenemos:

440 hz (nota La) x 1.0594630943593 = 466,16 hz (nota La#)
466,16 hz (nota Sib) x 1.0594630943593 = 493.88 hz (nota Si)
493.88 hz (nota Si) x 1.0594630943593 = 523.25 hz (nota Do)
Etc.

Asimismo, partiendo de una frecuencia cualquiera, multiplicando esa frecuencia doce veces por el número 1.0594630943593 se alcanza la de su octava. (La comprobación de esto último resulta innecesaria, pues multiplicar algo doce veces por la raiz duodécima de 2 es lo mismo que multiplicarlo por 2: el resultado será necesariamente el doble.)

440 hz (nota La4) x 212/12 = 880 hz

Algunas ideas finales sobre la consonancia

El modo en que dividimos la octava está muy relacionado con la apreciación de las consonancias dentro de cada cultura. Identificamos los tonos como afinados cuando los sentimos en una proporción agradable respecto de una altura de referencia.

Según la teoría más aceptada, la consonancia entre dos sonidos se produce cuando las frecuencias fundamentales de los intervalos guardan una relación simple, que puede expresarse como una relación de números pequeños enteros (el unísono, 1:1, la octava, 2:1, la quinta perfecta, 3:2, la cuarta perfecta, 4:3).

Al sonar al mismo tiempo, las alturas consonantes se funden en un único sonido, produciendo un ligero aumento en la intensidad; cuando la relación es menos simple, un mayor número de armónicos caen dentro del rango de interferencia, causando batimientos (fluctuaciones periódicas de la intensidad) o rugosidad (cuando los sonidos se encuentran un poco más alejados o cercanos en el tono, superando el límite de frecuencia de batido, los batimientos se disipan dando paso a una sensación de aspereza.

De entre los sistemas analizados, la afinación justa sería la que produciría intervalos en los que no existirian batimientos, pero sólo si permanecemos en una única tonalidad. Para la práctica musical, es necesario aplicar un sistema que se desvía de las relaciones consonantes de la afinación justa, pero posibilita la ejecución en todas las tonalidades.

En el sistema de temperamento igual, las terceras menores se encuentran ligeramente por debajo de la frecuencia sin batimento y las terceras mayores superan los valores teóricamente justos, que darían una verdadera consonancia. También las cuartas y quintas se encuentra ligeramente desviadas. En este sistema, salvando la octava, ningún intervalo está libre de batimiento.

A pesar de esto, el temperamento igual es el estándar para afinar instrumentos de tono fijo (como el piano), porque tiene la ventaja práctica de que la afinación es igualmente buena para cualquier clave musical, permitiendo la modulación y la transposición.

Los cantantes y los instrumentos de tono no fijo, por su parte, son capaces de seguir una afinación justa, pero a menudo se desvían marcadamente de las propociones puras en la ejecución. Estas desviaciones, además, según las investigaciones realizadas, son sistemáticas: con carácter general, los intervalos pequeños y los intervalos de octava, quinta y cuarta son más exactamente reproducidos (y mejor reconocidos) que los intervalos menos consonantes y los grandes intervalos (Killiam et al, 1975; Rakowski & Miskievwicz, 1985).8,9 Es decir, los intervalos menos amplios y los menos consonantes son sistemáticamente ejecutados con una mayor desviación respecto de las relaciones teóricas de la entonación justa.

La consonancia, por tanto, entendida como ausencia de batimento, no parece ser un criterio tan importante. El sistema de afinación con el que se desarrolla casi la totalidad de la música contemporánea sacrifica la consonancia, y la interpretación musical insiste de forma sistemática en la desviación. Por esa razón, se empiezan a valorar en la actualidad los denominados «sistemas de afinación borrosos» (fuzzy tuning systems).10

Para profundizar más en los sistemas de afinación, recomiendo la lectura de dos textos de Javier Peralta Coronado, “Matemáticas para no desafinar” y “Modelos matemáticos del sistema de afinación pitagórico y algunos de sus derivados: propuesta para el aula“, mucho más técnicos y rigurosos que esta introducción.


REFERENCIAS:

  1. Peralta, J. (2003). Matemáticas para no desafinar. [Enlace] [PDF]
  2. Peralta, J. (2011). Modelos matemáticos del sistema de afinación pitagórico y algunos de sus derivados: propuesta para el aula. [Enlace] [PDF]
  3. Werckmeister, A. (1691). Musikalische Temperatur. [Enlace]
  4. Chaumont, L. (1695). Livre d’orgue.
  5. Rameau, J.P. (1726). Nouveau système de musique théorique. [Enlace]
  6. Kirnberger, J.P. (1771). Die Kunst des reinen Satzes. [Enlace]
  7. Ellis, A. J. (1864). On the temperament of musical instruments with fixed tones. [DOI: 10.1098/rspl.1863.0086]
  8. Killam et al (1975). Interval recognition: identification in connection with some of its elements. [DOI: 10.2307/843589]
  9. Rakowski, A. & Miskiewicz, A. (1985). Deviations from equal temperament in tuning isolated musical intervals.
  10. Liern, V. (2005). Fuzzy tuning systems: the matematics of musicians. [DOI: 10.1016/j.fss.2004.04.002]

Un comentario sobre “Breve historia de los sistemas de afinación

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s